Статья: О РАЗРЕШИМОСТИ ОБЩЕЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВАХ ГЁЛЬДЕРА - ЗИГМУНДА ПЕРЕМЕННОЙ ГЛАДКОСТИ (2024)

Рассмотрена модель для описания рыхления почвы при воздействии на неё сжатым воздухом. Модель позволяет рассчитать в зависимости от давления сжатого воздуха, диаметра отверстия и глубины залегания точки подачи зону дилатансии (области, внутри которой создаваемые напряжения превысят пороговые и начнётся процесс рыхления). Разработанная модель также применена для описания рыхления почвы при нескольких точках подачи воздуха и при различном направлении струи.

Работа посвящена развитию метода рандомизированного машинного обучения в направлении оценивания динамических моделей связанных процессов с использованием реальных данных, один из которых рассматривается в качестве основного, а другой в качестве зависимого. Модель основного процесса в этой концепции реализуется динамической моделью на основе дифференциальных уравнений с параметрами, которые в свою очередь реализуются статической моделью в другой временной шкале. Рандомизированное машинное обучение - новая теория, находящаяся на стыке науки о данных, машинного обучения и интеллектуального анализа данных, основанная на использовании концепции энтропии для оценивания вероятностных характеристик параметров моделей. Такими характеристиками являются распределения вероятностей соответствующих объектов, оценками которых являются распределения, реализованные функциями плотности распределения вероятностей или дискретными распределениями. Достижение этой цели становится возможным благодаря идее перехода от моделей с детерминированными параметрами к моделями со случайными параметрами и, дополнительно, измеряемыми на выходе со случайным шумом, чем достигается учёт стохастической природы, которая, очевидно, присутствует в любом природном феномене. В качестве демонстрации предлагаемого в работе метода рассматривается задача прогнозирования общего количества инфицированных, основанная на динамической эпидемиологической модели SIR, в которой один из параметров рассматривается в качестве состояния связанного процесса, реализуемого статической моделью. Её оценивание производится по наблюдениям основного процесса, а прогнозирование осуществляется с помощью модели связанного процесса. Проведённый эксперимент с использованием реальных данных о случаях заболевания COVID-19 в Германии показывает работоспособность предлагаемого подхода. Прогноз, полученный классическим методом наименьших квадратов, приводит к недооценке выхода модели по сравнению с реальными наблюдаемыми данными, в то время как предлагаемый в работе подход обладает большей гибкостью и потенциально позволяет получать более адекватные реальным данным прогнозы, чем подтверждается его эффективность и адекватность в условиях малого количества данных с высоким уровнем неопределённости.

На основе базы данных, полученной с помощью модели высокоскоростного соударения пластин, связывающей параметры удара и параметры модели материала с профилем скорости тыльной поверхности, проведено сравнение процесса обучения и точности искусственной нейронной сети прямого распространения и рекурсивной нейронной сети. Рекурсивная нейронная сеть обеспечивает б´ольшую точность и требует меньшего времени для обучения. Использование рекурсивной нейронной сети в качестве быстрого эмулятора модели и байесовская калибровка могут позволить решить обратную задачу определения параметров модели вещества по профилю скорости тыльной поверхности с большей точностью.

Построены графики временны´х и частотных зависимостей компонент магнитных колебаний слоёв планарной двухслойной магнитной структуры и их портреты при возбуждении слоёв структуры СВЧ-магнитным полем круговой поляризации для разных коэффициентов связи между слоями. Показано, что межслойная связь создаёт дополнительный локальный минимум энергии, пространственное положение которого зависит от коэффициента связи слоёв.

In this paper, we consider a nonlinear impulsive parabolic type partial differential equation with nonlinear impulsive conditions. Dirichlet type boundary value conditions with respect to spatial variable is used, and eigenvalues and eigenfunctions of the spectral problem are founded. The Fourier method of the separation of variables is applied. A countable system of nonlinear functional equations is obtained with respect to the Fourier coefficients of the unknown function. A theorem on a unique solvability of the countable system of nonlinear functional equations is proved by the method of successive approximations. A criteria of uniqueness and existence of a solution for the nonlinear impulsive mixed problem is obtained. A solution of the mixed problem is derived in the form of the Fourier series. The absolute and uniform convergence of the Fourier series is proved.

The phase transition phenomenon is one of the central problems of statistical mechanics. It occurs when the model possesses multiple Gibbs measures. In this paper, we consider a three-state SOS (solid-on-solid) model on a Cayley tree. We reduce description of Gibbs measures to solving of a non-linear functional equation, each solution of which corresponds to a Gibbs measure. We give some sufficiency conditions on the existence of multiple Gibbs measures for the model. We give a review of some known (translation-invariant, periodic, non-periodic) Gibbs measures of the model and compare them with our new measures. We show that the Gibbs measures found in the paper differ from the known Gibbs measures, i. e, we show that these measures are new.

We analyze the metrical Bochner criterion and a new class of multi-dimensional metrically Stepanov almost periodic type functions. We clarify the main structural properties for the introduced classes of functions, including the Bochner criterion, and provide certain applications to Doss-p-almost periodic functions. We also study the extensions of almost periodic sequences and briefly explain how we can apply the established theoretical results to the abstract Volterra integro-differential equation

Найдены симметрии системы уравнений двухфазной среды, где первая фаза - газ, вторая - твёрдые частицы. Вторая фаза считается разрежённой, что выражается в отсутствии давления в уравнениях движения второй фазы. Среда предполагается неизотермической. С помощью методов группового анализа найдены алгебры Ли симметрий изучаемой модели в одномерном и трёхмерном случаях. В работе подробно описан процесс поиска симметрий в случае уравнений состояния совершенного газа. Найдены некоторые частично инвариантные решения одномерной системы уравнений.

Негладкие особенности минимаксного (обобщённого) решения рассматриваемого класса задач Дирихле для уравнений гамильтонова типа обусловлены существованием псевдовершин - особых точек границы краевого множества. В работе развиваются аналитические и численные методы построения псевдовершин и сопутствующих им конструктивных элементов, к которым относятся порождающие псевдовершины локальные диффеоморфизмы, а также маркеры - числовые характеристики этих точек. Для маркеров получено уравнение с характерной структурой, присущей уравнениям для неподвижных точек. Предложена основанная на методе Ньютона итерационная процедура численного построения его решения. Доказана сходимость процедуры к маркеру псевдовершины. Приведён пример численно-аналитического построения минимаксного решения, иллюстрирующий эффективность развиваемых подходов построения негладких решений краевых задач.

Исследованы вопросы однозначной разрешимости специальной начальной задачи для двух классов линейного неоднородного уравнения с производной Джрбашяна - Нерсесяна. В одном из классов оператор при искомой функции ограничен, в другом - секториален. Доказано также представление композиции любого числа дифференциальных операторов Герасимова - Капуто и/или Римана - Лиувилля в виде производной Джрбашяна - Нерсесяна.

Описаны трёхмерные динамические системы с кусочно-линейными правыми частями, моделирующие функционирование простейшего молекулярного репрессилятора и имеющие бесконечные однопараметрические семейства циклов в их фазовых портретах. Построена аналогичная динамическая система со ступенчатыми правыми частями, имеющая два кусочно-линейных цикла. Описана поверхность, разделяющая эти два цикла.

Получено представление решения задачи Коши для разрешённого относительно старшей производной линейного неоднородного уравнения с несколькими дробными производными Герасимова - Капуто и с секториальным набором линейных замкнутых операторов при них в случае гёльдеровой функции в правой части уравнения; доказана единственность решения. Этот результат использован для редукции задачи Коши для квазилинейного уравнения к интегро-дифференциальному уравнению. Методом сжимающих операторов доказано существование единственного локального решения в случае локальной липшицевости зависящего от нескольких производных Герасимова - Капуто нелинейного оператора в уравнении и единственного глобального решения при условии липшицевости этого оператора.