SCI Библиотека

4TH-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION, NONLOCAL PROBLEM, INTEGRAL CONDITIONS OF 1ST AND 2ND KIND, GENERALIZED SOLUTION, SOBOLEV SPACE, A PRIORI ESTIMATES

В статье рассматриваются краевые задачи для разрывно-нагруженного параболического уравнения с оператором дробного интегродифференцирования Римана - Лиувилля с переменными коэффициентами. Доказана однозначная разрешимость задачи Коши - Дирихле для разрывно-нагруженного параболического уравнения дробного порядка. В работе также исследуются вопросы существования и единственности решения первой краевой задачи для разрывно-нагруженного уравнения параболического типа. Методом функции Грина, используя свойства фундаментального решения соответствующего однородного уравнения, а также предполагая, что коэффициенты уравнения ограничены, непрерывны и удовлетворяют условию Гельдера, оставаясь неотрицательными, показано, что решение задачи сводится к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

Предмет исследования: задачи численного определения точечных источников в обратных задачах тепломассопереноса.

Цель исследования: описание теоретических результатов (теорема существования и единственности решений обратной задачи), создание алгоритма решения задачи численного определения точечных источников, исследование его свойств, численная реализация алгоритма и его тестирование и проверка на устойчивость.

Объект исследования: задачи численного определения точечных источников (правой части специального вида) в обратных задачах тепломассопереноса. Источники задаются в виде суммы дельта-функций Дирака с коэффициентами, зависящими от времени и характеризующими мощность соответствующего источника. Они являются неизвестными и подлежат определению вместе с решением уравнения. В качестве данных переопределения задаются значения решения в некотором наборе точек, лежащем внутри области.

Методы исследования: алгоритм основан на методе конечных элементов по пространственным переменным и методе конечных разностей по времени. Неизвестная правая часть определяется на каждом временном слое при помощи условия переопределения.

Основные результаты исследования: описание алгоритма решения, его свойств, результаты численных экспериментов. В том числе описаны условия, когда алгебраическая система, к которой приводится задача, имеет единственное решение, проведено сравнение данных, полученных в результате расчетов, с тестовыми примерами. Расчеты проводились в том числе и с добавлением к данным замеров случайного шума различного уровня. Результаты показали, что решение устойчиво при случайном возмущении данных задачи.

Авторы статьи статистически анализируют успеваемость выборочных групп студентов и магистрантов горного университета, изучающих курс “Методы математической физики”. Курс достаточно сложен, так как для его понимания слушатели должны хорошо владеть многими разделами высшей математики. Для магистрантов изучение курса осложняется большим временным перерывом после окончания изучения высшей математики, из-за чего они теряют многие навыки. Авторы показывают, что повторение на первых занятиях основных разделов высшей математики позволяет в целом повысить успеваемость как при изучении отдельных разделов, так и курса в целом.

Рассмотрен анализ задач оптимального управления для нелинейной системы, моделирующей нестационарный сложный теплообмен с френелевскими условиями сопряжения на поверхностях разрыва коэффициента преломления. Представлены оценки решения начально-краевой задачи, разрешимость задач управления и выведены условия оптимальности, приводящие к релейности оптимального управления.

Рассматриваются задачи проектирования многослойных маскировочных оболочек для 2D-модели электропроводности. Предполагается, что эти оболочки состоят из конечного числа кольцевых слоев, заполненных изотропными средами. С использованием оптимизационного метода рассматриваемые задачи сводятся к экстремальным задачам и исследуются свойства их решений. Развивается эффективный численных алгоритм, основанный на методе роя частиц (МРЧ). Обсуждаются результаты проведенных вычислительных экспериментов.

Статья содержит обзор важнейших результатов, полученных в рамках научной школы СПбГУ по нелинейным уравнениям в частных производных (школы О.А. Ладыженской - Н.Н. Уральцевой). Основное внимание уделено работам, выполненным в нашем университете за последние 50 лет. Предлагаемая читателям первая часть обзора касается разрешимости и качественных свойств решений краевых задач для скалярных квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка, а также вариационных задач. В планируемую вторую часть обзора войдут разделы о полностью нелинейных уравнениях и системах уравнений и о задачах со свободными границами.

В этой исследовательской статье мы применяем метод обобщенного проективного уравнения Риккати для построения решений бегущей волны 3D кубического фокусирующего нелинейного уравнения Шрдингера с потенциалом Вудса - Саксона. Обобщенный проективный метод Риккати является мощным и эффективным математическим инструментом для получения точных решений нелинейных уравнений в частных производных и позволяет получить множество решений бегущей волны трехмерного кубического фокусирующего нелинейного уравнения Шрдингера с потенциалом Вудса - Саксона. Эти решения содержат периодические волновые решения, светлые и темные солитонные решения. Исследование многих физических систем, таких как конденсаты Бозе - Эйнштейна и систем нелинейной оптики, приводят к нелинейному уравнению Шредингера. В статье дается подробное описание обобщенного проективного метода Риккати и демонстрируется его полезность в решение нелинейного уравнения Шрдингера с потенциалом Вудса - Саксона. В статье представлены различные графические представления полученных решений с помощью программного обеспечения MATLAB и проанализированы их характеристики. Представленные результаты дают новое представление о поведении трехмерного кубического фокусирующего нелинейного уравнения Шредингера с потенциалом Вудса - Саксона и имеют потенциальные приложения во многих областях физики, а также в нелинейной оптике и физике конденсированного состояния.

Рассмотрена задача о движении внешней нагрузки с постоянной скоростью вдоль замороженного канала с неравномерным сжатием. Лед моделируется как тонкая вязкоупругая пластина постоянной толщины. Края пластины приморожены к стенкам канала. Прогиб ледового покрова описывается в рамках линейной теории упругости. Жидкость под пластиной невязкая и несжимаемая. Течение жидкости, вызванное прогибом пластины, является потенциальным. Внешняя нагрузка моделируется движущимся с постоянной скоростью распределением давления. Задача решается с помощью преобразования Фурье вдоль канала и методом нормальных мод для формы прогибов льда поперек канала. Основным параметром для исследования в данной модели является эффект неоднородного сжатия ледового покрова.

В работе исследуется колебания упругой балки с переменной толщиной, находящейся в полном контакте с жидкостью (гидроупругие колебания) или при отсутствии жидкости (упругие колебания). Гидроупругие и упругие прогибы балки являются двумерными. Задача рассматривается без демпфирования колебаний и внешнего воздействия. Упругая балка тонкая, конечной длины, и с заданными краевыми условиями. Вычислены моды упругих и гидроупругих колебаний балки в случае линейной и кусочно-линейной толщины.