Настоящая книга — сборник статей, посвященных активно развивающимся в настоящее время направлениям фундаментальной математики. Все авторы являются победителями и призерами разных лет конкурса Мёбиуса математических работ студентов и аспирантов, проводимого
Независимым московским университетом. В своих статьях они рассказывают об интересующих их областях математики. Книга рассчитана на широкий круг математической общественности, начиная со студентов-математиков.
В данный сборник вошли материалы выездных школ по подготовке команды Москвы на Всероссийскую олимпиаду.
Материалы сборника могут использоваться как школьниками для самостоятельных занятий, так и преподавателями. В большинстве материалов сборника приведены дававшиеся на занятиях задачи, а также решения или указания к ключевым задачам.
Инверсия — отображение плоскости на себя, которое может переводить окружности в прямые. С одной стороны, это помогает решать «школьные» геометрические задачи, особенно те, в которых речь идёт о многих пересекающихся или касающихся окружностях. В то же время знакомство с инверсией необходимо для дальнейшего изучения таких разделов математики, как комплексный анализ и геометрия Лобачевского.
После определения и вывода основных свойств инверсии в брошюре разбираются классические задачи Архимеда, Паппа, Аполлония. Рассказывается также об инверсии пространства, стереографической проекции сферы на плоскость, кругах окружностей и сфер, что приводит к доказательству знаменитой теоремы Понселе.
Материал брошюры рассчитан на старшеклассников, учителей математики и всех интересующихся элементарной геометрией.
Брошюра написана по мотивам лекции, прочитанной автором на Малом мехмате 28 февраля 2004 года.
Знаменитые проблемы, сформулированные Давидом Гильбертом на Парижском международном математическом конгрессе 1900-го года, оказали определяющее влияние на развитие математики XX столетия.
Одна из целей этой брошюры — показать, что многие известные и достаточно сложные математические проблемы возникают вполне естественным образом, так что даже старшеклассник может понять причины появления этих проблем и их формулировки.
Текст брошюры представляет собой обработку записи лекции, прочитанной автором 23 октября 1999 года на Малом мехмате для школьников 9–11 классов.
Начиная с шестидесятых годов прошлого века неортодоксальными исследователями древней истории было разработано множество самых смелых и сенсационных гипотез о предназначении гигантских пирамид и других поразительных сооружений на плато Гиза в Египте. Книги фон Дэникена, Ситчина, Бьювэла, Хэнкока, Данна недвусмысленно угверждали: человечество древнее, чем мы предполагаем, пирамиды и Большой Сфинкс были выстроены на много тысячелетий раньше общепризнанной даты, в древности Земля пережила ядерную войну, пирамиды использовались в качестве мощнейших электростанций, наши предки, скорее всего, контактировали с высокоразвитой инопланетной цивилизацией…
В своей уникальной книге Иэн Лоутон и Крис Огилви-Геральд проделали титаническую работу: они описали и систематизировали все существующие альтернативные египтологические версии, от самых фантастических до наиболее правдоподобных и обоснованных, и попытались беспристрастно оценить каждую с точки зрения материальных доказательств и исторического контекста. Кроме того, в книге подробно изложены этапы изучения монументов на плато Гиза, начиная от античных историков и исламских грабителей могил вплоть до сенсационных исследований наклонных коридоров Великой пирамиды Рудольфом Гантенбринком при помощи робота «Упуаут». Зачастую эти исследования были необычайно рискованными, а взаимная ненависть между альтернативным и ортодоксальным лагерями египтологов достигала такого накала, что на плато Гиза разгорались поист ине детективные страсти.
Исчезнувший древний континент Лемурия, или Му, не так знаменит, как Атлантида. Однако его культура не только стала прародительницей цивилизации атлантов, но и оказала значительное влияние на весь тихоокеанский регион от Дальнего Востока и Океании до Северной и Южной Америки. Огромное количество свидетельств, содержащихся в устных туземных преданиях, создает образ Лемурии как родины технологически развитого и социально гармоничного народа, пережившего чудовищный катаклизм. После катастрофы некоторые лемурийцы нашли прибежище в Центральной Азии и Японии, где их духовные принципы сформировали основу для двух великих религий человечества — тибетского буддизма и японского синтоизма.
Автор этой книги, известный исследователь необычного Фрэнк Джозеф, полагает, что нравственные принципы Лемурии и Атлантиды — восточной и западной цивилизаций — спустя тысячелетия вновь вошли в стадию острой конфронтации и на кону сегодня в очередной раз существование всего человечества.
Недоразвитые взрослые, сыновья и дочери природы или невинные ангелочки? Как и почему менялось отношение к детям и детству? Как за детьми ухаживали и как их воспитывали? В своем блестящем исследовании Карин Калверт рассказывает об истории американского детства, анализируя изменения материальной культуры XVII-XIX веков.
Теория цепных дробей связана с теорией приближений вещественных чисел рациональными, с теорией динамических систем, а также со многими другими разделами математики. В брошюре рассказано о связи цепных дробей с геометрией выпуклых многоугольников. Из этой связи следует, например, что цепная дробь периодична в тех и только тех случаях, когда выражаемое ей число является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Рассказано также о том, насколько часто среди элементов цепной дроби, выражающей произвольное вещественное число, встречается единица (двойка, тройка,…). В заключительном разделе брошюры содержится обзор результатов, связаных с многомерными обобщениями классической теории цепных дробей, полученных в последнее время.
Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции, прочитанной автором для школьников 9—11 классов 2 декабря 2000 года на Малом мехмате МГУ.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей, а отчасти она будет интересна и профессиональным математикам.
Первое издание книги вышло в 2001 году.
Эта брошюра, написанная выдающимся современным математиком академиком РАН В. И. Арнольдом, основана на прочитанных автором популярных лекциях для старшеклассников. В живой и увлекательной форме излагаются основы теории алгебраических кривых в самых разных аспектах: от свойств конических сечений и до шестнадцатой проблемы Гильберта и понятия рода комплексной кривой.
Рекомендуется всем интересующимся математикой, начиная со старшеклассников и студентов младших курсов.
Учебное пособие посвящено классическим задачам коммутативной алгебры и теории инвариатов. Помимо начальных сведений о градуированных алгебрах, их рядах Пуанкаре и многочленах Гильберта, приводятся доказательства теоремы Маколея о размерностях компонент стандартных градуированных алгебр, формулы Молина для ряда Пуанкаре алгебры инвариантов конечной линейной группы и теоремы Нагаты—Стейнберга о том, что алгебра инвариантов некоторой явно заданной линейной алгебраической группы не является конечно порожденной.
Последний результат является контрпримером к 14-й проблеме Гильберта. Пособие содержит более 40 задач, к каждой из которых даны подробные указания. Излагаемый материал доступен студентам младших курсов физико-математических специальностей университетов.
Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников, интересующихся алгеброй, геометрией и комбинаторикой.
