Настоящий том издания «История татар с древнейших времен» посвящен истории Волжской Булгарии до монгольских завоеваний, но он также охватывает большое количество проблем, связанных с финно-угорскими соседями булгар и тюркоязычным, преимущественно кочевническим, населением Великой Степи.
Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 4 декабря 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов. В ней рассказывается об одной из знаменитых задач комбинаторной геометрии — гипотезе Борсука, которая утверждает, что в n-мерном пространстве всякое ограниченное множество можно разбить на n+1 часть меньшего диаметра. Вначале подробно анализируются случаи малых размерностей и доказывается, что при n=1, 2, 3 гипотеза верна. Далее приводятся различные оценки сверху для числа Борсука в зависимости от размерности. Кроме того, рассматривается связь гипотезы с другими проблемами и задачами комбинаторной геометрии (проблема освещения, задача Грюнбаума, задача о хроматическом числе). В заключительных главах рассматриваются контрпримеры к гипотезе Борсука и история понижения минимальной размерности, в которой строится контрпример, а также улучшения оценки снизу.
Многие главы снабжены задачами. Некоторые из них — это упражнения, прорешав которые, читатель лучше прочувствует материал. На некоторые задачи опирается основной текст. Сложные задачи отмечены звёздочками (некоторые являются открытыми проблемами).
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей. От читателя потребуется знание элементарных понятий комбинаторики, а, кроме того, будет полезным (но не обязательным) знакомство с аналитической геометрией и началами анализа.
Цель сборника — дать учителям и родителям разнообразный материал для отработки всех типов задач, примеров, уравнений и преобразований. Приложение к этому пособию является два вида самостоятельных работ: “Реши задачу!” и “Попробуй реши!”(примеры, уравнения, неравенства, преобразования), а также сборник “Устный счет”, в котором даны контрольные работы по устному счету (по две на каждый месяц), проверочные работы по теме “Нумерация” и более 600 заданий для развития устного счета.
Путешественнику, попавшему на остров в океане, где живет туземное племя, поневоле придется вооружиться знанием конкретного, частного, чтобы очевидности чужого культурного опыта «достроились» до некоего целого, и тогда любая мелочь повседневности будет указывать на свое неслучайное присутствие в жизни. Это правило применимо и к научному исследованию.
Перед нами текст древнерусского сочинения конца XVII в., в котором описывается убийство. Парадокс заключается в том, что в средневековой культуре не допускалось даже мысли, что такое убийство возможно. Как же оно стало фактом сознания? Текст этот написан в эпоху больших культурных перемен, в начале 70-х годов XVII в. Сказать: «Вот видите, как осуществился переход от Средневековья к Новому времени, что даже убийства стали возможны, о которых раньше не слыхали», значит ничего не сказать. У этой странной истории должна быть своя логика. Логика допущения, что подобное убийство возможно.
Эта книга является непосредственным продолжением книги «Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии». Она начинается с определения симплициальных гомологий и когомологий; приводятся многочисленные примеры их вычисления и их приложений. Затем обсуждается умножение Колмогорова—Александера на когомологиях. Значительная часть книги посвящена различным приложениям (симплициальных) гомологий и когомологий. Многие из них связаны с теорией препятствий.
Одним из таких примеров служат характеристические классы векторных расслоений. Сингулярные гомологии и когомологии определяются во второй половине книги. Затем рассматривается ещё один подход к построению теории когомологий — когомологии Чеха и тесно связанные с ними когомологии де Рама. Книга завершается различными приложениями теории гомологий в топологии многообразий. В книге приведено много задач (с решениями) и упражнений для самостоятельного решения.
Книга содержит много конкретного материала и приложений, которые могут заинтересовать даже специалистов в этой области.
Для студентов старших курсов и аспирантов математических и физических специальностей; для научных работников.
Книга может использоваться в качестве задачника по геометрии для 7—11 классов в сочетании со всеми действующими учебниками по геометрии. В неё включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник содержит около 1900 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятельного решения.
С помощью этого пособия можно организовать предпрофильную и профильную подготовку по математике, элективные курсы по дополнительным главам планиметрии.
Материалы данного пособия полностью покрывают тематику и сложность заданий олимпиад всех уровней и всех видов экзаменов, включая ЕГЭ и вступительные экзамены в вузы.
Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов педагогических институтов и университетов.
В книге собраны задачи Московских математических олимпиад 1993— 2005 г. с ответами, указаниями и подробными решениями. В дополнениях приведены основные факты, используемые в решении олимпиадных задач, и избранные задачи Московских математических олимпиад 1937—1992 г.
Все задачи в том или ином смысле нестандартные. Их решение требует смекалки, сообразительности, а иногда и многочасовых размышлений.
Книга предназначена для учителей математики, руководителей кружков, школьников старших классов, студентов педагогических специальностей. Книга будет интересна всем любителям красивых математических задач.
Настоящая книга является переработанным и дополненным изданием сборника «Колмогоров в воспоминаниях» (Наука, 1993). В книге приведены список учеников А. Н. Колмогорова и некоторые биографические материалы
Автор этой книги — профессиональный математик — рассказывает о своём опыте занятий математикой с дошкольниками. Жанр книги смешанный: дневниковые записи перемежаются рассуждениями о математике или о психологии, наблюдения за детьми и за их реакцией на происходящее служат источником для новых задач, а те в свою очередь позволяют углубить и развить как бы намеченные пунктиром идеи.
Книга будет интересна родителям дошкольников (а также их бабушкам и дедушкам), воспитателям детских садов, учителям начальных классов, и вообще всем тем, кого интересует процесс развития детского интеллекта.
Брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором в летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2005 г. Она посвящена доказательству обобщённой теоремы Ван дер Варденa.
Эта теорема является обобщением следующей элементарной задачи: если множество целых чисел покрашено в конечное число цветов, то найдётся арифметическая прогрессия сколь угодно большой конечной длины, члены которой раскрашены в один цвет.
Брошюра адресована старшим школьникам и студентам младших курсов. Никаких предварительных знаний от читателя не требуется.
