Среди проблем Гильберта, сформулированных на рубеже XIX и XX столетий, особое место занимает третья проблема — единственная, связанная с методикой преподавания элементарной математики. В ней Гильберт ставит вопрос, можно ли отказаться от предельного перехода в выводе формулы объема треугольной пирамиды и ограничиться только методом равносоставленности. Проблема эта породила большое число работ (М. Ден, давший отрицательное решение проблемы Гильберта, В. Ф. Каган, математики швейцарской школы и др.).
Книга знакомит читателя с современным состоянием теории равносоставленности, которая за последние годы обогатилась рядом новых результатов. Она предназначена для научных работников, преподавателей университетов, педвузов, школ, студентов-математиков и всех читателей, серьезно интересующихся математикой.
В теории выпуклых фигур есть много изящных результатов, вполне доступных пониманию школьников и в то же время представляющих интерес для специалистов-математиков. Некоторые из таких результатов мы и хотим предложить вниманию читателя. Мы расскажем о комбинаторных задачах теории выпуклых фигур, связанных главным образом с разбиением фигур на «меньшие» части.
Теоремы и задачи, излагаемые в книге, вошли в математику совсем недавно: самой старой из них недавно исполнилось 30 лет, а многие из теорем находятся еще в «младенческом» возрасте — они опубликованы в специальных математических журналах за последние 5 лет.
В книге популярно излагаются некоторые теоремы, относящиеся к недавно сформировавшемуся разделу математики — комбинаторной геометрии.
Предназначена для учащихся 8—10 классов, интересующихся математикой, студентов и преподавателей математики.
Первый параграф предлагаемой вниманию читателя книжки посвящён доказательству следующей теоремы, найденной математиками Бояи и Герлином: если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разбить на такие части, из которых возможно составить второй многоугольник. Более краткая формулировка: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены.
Изучению некоторых вопросов, связанных с равносоставленностью фигур, посвящена вся книжка в целом. Она разделена на две главы, в первой из которых изучаются многоугольники, а во второй — многогранники. Сформулированная выше теорема является одной из основных в первой главе.
Во второй главе наиболее интересно теорема Дена: существуют многогранники, которые имеют одинаковый объём (равновелики), но не являются равносоставленными.
Эта книга посвящена некоторым задачам из общей теории выпуклых тел (определение выпуклого тела см. в тексте, стр. 13 и 29). Созданная в конце прошлого века теория выпуклых тел в настоящее время является наукой, богатой общими методами и отдельными замечательными результатами.
Она интенсивно разрабатывается и по настоящее время. Общее число печатающихся научных работ и книг, посвящённых этому вопросу, настолько значительно, что в оглавлении современного реферативного математического журнала, излагающего все появляющиеся работы по математике, теория выпуклых тел стоит как самостоятельная математическая дисциплина наряду с небольшим числом других математических наук.
Такая популярность теории выпуклых тел связана в первую очередь с важностью этой теории для геометрии, а также со значительными её приложениями как к другим разделам математики (алгебра, теория чисел и др.), так и к естествознанию (математическая кристаллография). Значение теории выпуклых тел особенно возросло после недавних замечательных лeкторий ленинградского математика А. Д. Александрова, положившего её в основу созданной им новой важной научной области, значительной из современных геометрических наук — дифференциальной геометрии.
Замечательная книга «Круг и шар» известного немецкого геометра Вильгельма Бляшке (1885—1962) впервые появилась на свет в 1916 г. В 1956 г. эта книга была переиздана; однако произведенная автором для нового издания переработка текста была не слишком значительна и в этой и сегодня еще по-юношески свежей и живой книге сохранились некоторые следы ее почтенного возраста: так, например, автор иногда называет «новыми» задачи более чем полувековой давности и считает «нерешенными» проблемы, которые были таковыми разве лишь в 1916 г. (см., например, подстрочное примечание**) на стр. 194).
В связи с этим в некоторых случаях нам пришлось слегка отступить от авторского текста, исключив кое-где прилагательное «новый» или, тем более, «новейший»; слегка модернизирована терминология (например, автор всюду называет «симметрическую» производную Шварца «обобщенной производной» — однако в настоящее время последний термин получил совершенно другой смысл); несколько изменены обозначения (мы старались избегать готических букв, непривычных нашему читателю); кроме этого внесены незначительные изменения, содержащие, в частности, указания нового литepaтуры.
Топология — сравнительно молодая математическая наука. Примерно за сто лет ее существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики. Поэтому проникновение в «мир топологии» для начинающего несколько затруднительно, так как требует знания многих фактов геометрии, алгебры, анализа и других разделов математики, а также умения рассуждать.
Книга написана просто и наглядно. В форме, доступной для понимания школьников, она знакомит читателя с идеями топологии, ее основными понятиями и фактами. Большое количество рисунков облегчает усвоение материала. Этому же способствуют свыше двухсот задач.
Для школьников, преподавателей, студентов.
В книге на простых примерах, взятых из области механики и геометрии и доступных учащимся средней школы, разъясняется понятие огибающей, играющее важную роль в высшей математике.
Эти примеры не требуют рассмотрения никаких других функций, кроме многочленов, благодаря чему разыскание огибающих производится весьма простыми приёмами. Книга может быть использована в работе математических кружков.
Математическая регата - соревнование для школьных команд, проводящееся ежегодно. В данном сборнике представлены материалы всех московских математических регат по 2005/06 учебный год. Приведены также правила проведения регаты, описана технология ее проведения и особенности подготовки. В приложение включены материалы школьных математических регат и регат, проведенных на всероссийских фестивалях.
Книжка адресована учителям средней школы, методистам, школьникам и может быть интересна всем любителям математики.
При изучении стереометрии приходится изображать на плоскости пространственные фигуры. Большинство школьников выполняют эти чертежи как попало, без всяких правил.
В этой брошюре, рассчитанной на школьников старших классов, излагается теория изображения пространственных фигур на плоскости и приводятся примеры, соответствующие тематике школьного курса стереометрии.
