Книга Д. Гильберта, одного из самых выдающихся современных математиков, “Grundlagen der Geometrie”, перевод которой сейчас предлагается русским читателям, представляет собой выдающееся явление в мировой литературе.
Первое издание ее, вышедшее в 1899 г., было восторженно встречено математическим миром и дало ни с чем несравнимый могучий толчок исследованиям об основах геометрии*. Не будет преувеличением, если мы скажем, что едва ли после 1899 года вышла хотя бы одна работа по этому вопросу, которая в той или иной степени не опиралась бы на работы Гильберта.
Въ предисловіи автора къ первому изданію съ достаточной полнотой изложены планъ и содержаніе второго тома настоящаго сочиненія. Мы ограничимся, съ своей стороны, только слѣдующими замѣчаніями. Вопросы, относящіеся къ основаніямъ геометріи, въ настоящее время еще усиленно разрабатываются; но не только относительно тѣхъ проблемъ, которые лежатъ на рубежѣ между математикой и философіей, еще не достигнуто соглашенія, не выработано болѣе или менѣе общей точки зрѣнія, но и возникающія здѣсь задачи чисто математическаго характера вызываютъ еще немало спорвъ.
Съ этой, именно, точки зрѣнія мы можемъ рекомендовать ччитателю относиться къ излагаемымъ въ настоящей книгѣ разсужденіямъ. Во многихъ своихъ частяхъ это — не установившыяся прочно истины, это — взгляды, которые можно раздѣлять въ большей или менѣйшей степени. Съ нѣкоторыми взглядами автора мы, напримѣръ, рѣшительно не можемъ согласиться; такъ мы не можемъ усвоить точки зрѣнія автора на “натуральную геометрію”.
Но авторъ тонко изучилъ обширную литературу, относящуюся къ основаніямъ геометріи. Въ тѣхъ случаяхъ, когда по тому или иному вопросу мнѣнія особенно расходятся, онъ съ достаточной обѣктивностью излагаетъ различныя точки зрѣнія. Во всякомъ случайѣ это наиболее полное изложеніе предмета въ элементарной литературѣ. Если, однако, читатель не всегда вынесетъ полное убѣжденіе, то это должно быть отнесено, главнымъ образомъ, къ трудности самого предмета.
Геометрия, — так же как и арифметика,— требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений — это задача, которая со времён Евклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления. Настоящее исследование представляет собою новую попытку установить для геометрии полную и возможно более простую систему аксиом и вывести из этих аксиом важнейшие геометрические теоремы так, чтобы при этом стало совершенно ясно значение как различных групп аксиом, так и следствий, получающихся из отдельных аксиом.
В предисловии автора к первому изданию с достаточной полнотой изложены план и содержание второго тома настоящего сочинения. Мы ограничимся, со своей стороны, только следующими замечаниями.
Вопросы, относящиеся к основаниям геометрии, в настоящее время еще усиленно разрабатываются; но не только относительно тех проблем, которые лежат на рубеже между математикой и философией, еще не достигнуто соглашения, не выработано более или менее общей точки зрения, но и возникающие здесь задачи чисто математического характера вызывают еще немало споров.
С этой, именно, точки зрения мы можем рекомендовать читателю отнестись к излагаемым в настоящей книге рассуждениям. Во многих своих частях это не установившаяся прочная истина, это взгляды, которые можно разделять в большей или меньшей степени. С некоторыми взглядами автора мы, например, решительно не можем согласиться; так мы не можем воспринять точки зрения автора на “натуральную геометрию”.
Но автор тонко изучил обширную литературу, относящуюся к основаниям геометрии. В тех случаях, когда по тому или иному вопросу имеются особые расхождения, он с достаточной объективностью излагает различные точки зрения. Во всяком случае это полезное пособие для изучения предметной литературы. Если, однако, читатель не находит вполне своего удовлетворения, то это должно быть отнесено, главным образом, к трудности самого предмета.
Книга из серии “Классики естествознания”
