SCI Библиотека

Известный математик Ласло Фукс уже знаком советскому читателю по русскому переводу его книги «Частично упорядоченные алгебраические системы» («Мир», 1965). Его новая двухтомная монография посвящена абелевым группам.

Первый том включает в себя все основополагающие результаты теории, а также ее гомологический аспект. В нем поставлено 50 нерешенных проблем. Книга заполняет существенный пробел в математической литературе по этому вопросу на русском языке. От читателя не требуется специальных знаний, что позволяет использовать книгу и для первого знакомства с общей алгеброй.

Книга полезна каждому математику, работающему в теории групп, теории модулей и колец, топологии, гомологической алгебре.

Настоящий сборник девяти ставших классическими работ Фробениуса по теории характеров и представлений групп предоставляет собой связное целое, — полное изложение относящихся к 1896 — 1901 годам исследований Фробениуса по названным вопросам, — исследований, являющихся в этих вопросах первоисточником.

Хотя теория характеров групп позднее (в 1905 г.) была весьма упрощена И. Шуром, и в распространённых в настоящее время учебниках по теории групп (О. Ю. Шмидта, А. Шпейзера) изложена именно эта упрощенная теория Шура, но первоисточники теории характеров — работы Фробениуса — далеко не утратили своего значения. Теория Фробениуса гораздо глубже и ознакомление с нею весьма ценно для всех, кто интересуется теорией групп. Поэтому издание перевода известных классических работ Фробениуса является весьма своевременным. Для облегчения чтения издаваемых работ в конце книги дан ряд примечаний, содержащих характеристики каждой из работ и разъяснения наиболее трудных мест; число этих примечаний невелико.

В самом конце книги указана (без претензии на полную) дальнейшая литература, относящаяся к теории характеров и представлений групп.

Основные числовые системы — арифметика натуральных чисел, кольцо целых рациональных чисел, кольцо полиномов, поле рациональных чисел, поле вещественных чисел, поле комплексных чисел и др. — изучаются математиками с древних времён. Многие понятия и идеи, возникшие при изучении этих систем, породили новые направления в науке и сыграли важную роль в развитии математики и её приложений.

Теория числовых систем поэтому лежит в основе всех математических курсов, читаемых сейчас в высших учебных заведениях и входит в программу курсов алгебры, математического анализа, вычислительной математики. Каждый лектор при этом выбирает из обширного материала то, что ему кажется наиболее важным, излагает его с своей точки зрения, иллюстрируя на классическом материале нужные ему идеи и конструкции.

Естественно, что никакой целостной картины при этом, как правило, не возникает. И в литературе на русском языке нет полного изложении как этой теории, так и трудов многих выдающихся математиков, которые учитывались бы интересы широкого круга читателей. Этот пробел отчасти будет восполнен предлагаемым переводом книги Ферремана “Числовые системы”.

Предлагаемый сборник задач по высшей алгебре возник в результате преподавания в Ленинградском государственном университете и Педагогическом институте им. Герцена. Сборник предназначен для студентов младших курсов университетов и педагогических институтов при прохождении ими основного курса высшей алгебры.

Задачи сборника довольно резко разделяются на два типа. С одной стороны, собрано большое количество численных примеров, предназначенных для выработки вычислительных навыков и иллюстрирующих основные положения теоретического курса. Количество примеров, по мнению авторов, вполне достаточно для аудиторной работы, работы на дому и для контрольных работ.

В основу настоящего сборника положен «Сборник задач по высшей алгебре» Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, 2-е издание (1949 г.), в дальнейшем издававшееся стереотипно. Однако он существенно переработан. Включены два новых отдела — элементы теории чисел и элементы теории групп, сильно тематически расширены отделы, посвященные линейной алгебре. Во все главы включены примеры, связанные с полями и кольцами вычетов. Много задач исключено.

Изменена и планировка глав. По-прежнему сохранено два концепта в линейной алгебре: первый (главы III, IV) носит формально-калькулиативный характер, а второй (глава VIII) геометрический. Сокращены подробные решения. Для задач, снабженных указаниями (они отмечены звездочкой), текст решения часто является непосредственным продолжением текста указания.

Книга посвящена численным методам решения задач алгебры, в основном методам отыскания собственных значений матриц и соответствующих им собственных векторов. Однако в ней достаточно полно представлены методы решения и других задач алгебры, таких как решение систем линейных алгебраических уравнений, отыскание корней функций и т. д. Книга состоит из девяти глав.

В главах I, II излагается вспомогательный материал, содержащий основы теории линейной алгебры.

Главы III, IV, V содержат анализ ошибок округления простейших операций, некоторых линейных преобразований, методов решения систем линейных уравнений. Материал этих глав является фундаментом всех дальнейших исследований.

Главы VI, VII содержат описание и анализ ошибок метода приведения общей матрицы к матрице специального вида. Рассматриваются методы решения полного приведения собственных значений этих матриц.

В главах VIII, IX излагается обширный материал с анализом ошибок по решению полного привода собственных значений степенными методами.

В предлагаемом выпуске печатаются работы, относящиеся как непосредственно к теории решеток, так и к ее приложениям в различных областях алгебры.

Сборник может быть полезен научным работникам, аспирантам и студентам, занимающимся или интересующимся общей алгеброй.

В четвертом выпуске сборника помещаются работы, посвященные как непосредственно изучению упорядоченных множеств и решеток, так и исследованию свойств, связанных с упорядоченностями различных алгебраических систем.

Сборник представляет интерес для научных работников, аспирантов и студентов алгебраических специальностей.

В предлагаемоm выпуске сборника «Упорядоченные множества и решетки» помещается серия обзоров по теории решеток (структур). Эти обзоры составлены в основном по материалам реферативного журнала «Математика» за период с начала 1969 г. по июнь 1973 г. включительно. Они тесно связаны с предыдущими обзорами по теории решеток (структур), появившимися в серии «Итоги науки».

Сборник представляет интерес для научных работников, аспирантов и студентов, которые занимаются современной алгеброй.

Настоящая монография представляет собой, быть может, первое по времени, связное изложение теории всех типов обобщенных групп. Сюда вошли как мои собственные исследования, изложенные частью в моей диссертации,¹ частью в отдельных моих работах, помещенных в разных математических журналах, так и исследования других математиков, посвященные обобщенным группам.

Несмотря на мои старания охватить предмет как можно полнее, я, конечно, не могу претендовать на исчерпывающую полноту; могу только сказать, что использовал всю доступную мне литературу, относящуюся к обобщенным группам, и считал необходимым дать читателю хотя бы небольшое представление о всех известных мне типах обобщенных групп.